Вхід

Реклама

План-конспект уроку з алгебри на тему: "Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го степеня і його властивості"
Написав І. П. Слободян   
PDF Друк e-mail

УРОК 33
Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го степеня і його властивості.
Мета уроку: Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь п-го степеня і арифметичний корінь п-го степеня. Вивчення властивостей коренів п-го степеня.
І. Аналіз контрольної роботи з теми «Тригонометричні рівняння і нерівності».
II. Повторення відомостей про квадратний корінь.
Повторити відомості про квадратний корінь можна у вигляді фронтальної бесіди з використанням таблиці 13.
Питання до класу
1. Що називається квадратним коренем з числа?
2. Чому дорівнює квадратний корінь з чисел:
а) 25;      б)16;      в) 100;     г) 0;       д) -10?
3. Чому квадратний корінь з від'ємного числа не існує?
4. Що називається арифметичним квадратним коренем з числа а?
5. Виконайте вправу № 1 до розділу III.
6. При яких значеннях а має смисл вираз  ?
7. Виконання вправи № 5 до розділу III.
8. Виконання вправи № 2 до розділу III.
Таблиця 13
Квадратні корені

Означення квадратного кореня
з числа а:
Означення арифметичного
квадратного кореня з числа а:


число, квадрат якого дорівнює а.     

Корінь рівняння:
х2 = а.



Тотожності
= а,  а > 0.
= | a |, a   R.



Основні властивості
,  ,  .
,  ,  .
,  , k   N.




III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця 14).
!
Коренем п-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.
Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 23 = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 34 = 81, (-3)4 = 81.
Згідно даного означення, корінь п-го степеня — це корінь рівняння хn = а. Число коренів цього рівняння залежить від п і а.
Якщо п — парне, тобто п = 2k, k   N, то рівняння х2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.
Якщо п — непарне, тобто п = 2k + 1, k   N, то рівняння х2k+1 = а завжди має лише один корінь.

Таблиця 14
Корінь n-гo степеня
Означення кореня n-го
степеня з числа а:
число, n -й степінь якого дорівнює а.
Корінь рівняння:
х2 = а    Означення арифметичного кореня
n-го степеня з числа а:




,  ,…,  - існують для а R.
Якщо а < 0, то
= -  .
,  , … ,  - існують для а   0.

Тотожності
Якщо   існує, то  = а .
, а   R
, а   R.

Основні властивості
=   •  , ,  .
,  ,  .

,
,
.

!

Невід'ємний корінь рівняння хn = а називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.
!
Арифметичним коренем n-го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.
Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так:  . Число n називають показником кореня, число а — підкореневим числом (виразом).
Якщо п = 2, то замість   пишуть   і називають арифметичним квадратним коренем.
Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.
У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметичний корінь n-го степеня, коротко говорять «корінь п-го степеня».

Приклад. Знайдемо значення: -
а)  ;       б)  ;      в)  ;        г)  .
а)   = 2, оскільки 23 = 8 і 2 > 0;
б)   = 3, оскільки 34 = 81 і 3 > 0;
в)   = 1, оскільки 15 = 1 і 1 > 0;
г)   = 0 , оскільки 0100 = 0.
Корінь парного степеня існує лише з невід'ємних чисел, отже, вираз   має смисл, якщо   і набуває невід'ємних значень.
Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.
Для коренів непарного степеня справедлива рівність  = –  .
Дійсно  .
Рівність  = –   дозволяє виразити корінь непарного степеня з від'ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.


Приклад. Знайдемо значення:
а)  ;           б)  ;          в)  .
a)   = -   = -2; б)  = -   = -2 ; в)  = -   = -3 .
Отже, вираз   має смисл для будь-якого а   R і може набувати будь-яких значень.

Виконання вправ______________________________
1. Вправа № 7 до розділу III.
2. Розв'яжіть рівняння:
а) х3 = 64;      б) х5 = -  ;     в) х4 = 81;  г) х6 = - 64;    д) х3 = 15;   е) х4 = 15. Відповідь: а) 4;   б) -  ; в) 3; - 3; г) немає коренів; д)  ; е)  ; -  .
3. Знайдіть область визначення функцій:
а) у = ;         б) у =  ;         в) у =  ;
г) у =  ;     д) у =  + ;        е) у = 
Відповідь: а) х   2;   б) х   R;   в) х   3;   г) х ≠  0;   д) 0; е) не визначена.
Безпосередньо з означення арифметичного кореня n-го степеня випливає:

1. Якщо   існує, то ( )n = а .
2. 
3. 











Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні властивості мають і корені n-го степеня.
!
Властивість 1. Для невід'ємних чисел а і b добуток коренів n-го степеня із чисел a і b дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку:  • = .
!
Властивість 2. Для невід'ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки:  .
!
Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід'ємного числа а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а:  .
!
Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід'ємного числа можна перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін:  .
!
Властивість 5. Значення кореня із степеня невід'ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкореневого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число:  .
Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів. Доведемо властивості 3—5:
3) Так як а   0, то ліва і права частини формули невід'ємні. Тому для доведення цієї рівності досить впевнитися в тому, що n-ий степінь лівої частини дорівнює аk. Згідно з властивостями степенів з цілим показником маємо:

4) При а > О ліва і права частини невід'ємні. Тоді

Отже,  .
5) Згідно з означенням кореня   — це таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює аmp, тобто досить довести  .
Маємо  .
Виконання вправ__________________
1. Знайдіть значення виразів:
а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  .
Відповідь: а) 1,5;  б) 1,2;   в) 0,5;    г) 2,5;   д)  .
2. Обчисліть:
а)  • ;  б)  • ;    в)  ;    г)  .
Відповідь: а) 10;   б) 6;   в) 3;   г) 2.
3. Знайдіть корінь із степеня:

а)  ;    б)  ;   в)  ; г)  .
Відповідь: а) 125;   б) 0,09;   в) 0,72;  г) 16.
4. Спростіть вирази:
а)  ;     б)  ;     в)  ;      г)  .
Відповідь: а)   =  ;   б)  ;   в)  ;   г)  .

IV. Підсумок проведення уроку.

V. Домашнє завдання.
Розділ III § 1 (1—2). Запитання і завдання для повторення розділу III           № 1—12, 17—24. Вправи № 14 (1, 2, 4—6), № 15.




Attachments:
FileОписFile size
Download this file (al_roganin_10_urok_33.zip)al_roganin_10_urok_33.zip 84 Kb

Зв'язок з автором
Контактний телефон: 0970000000
e-mail: ivan88@ukr.net
 

Не пропустіть

Завантаження панелі...